Question

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）;（2）．

【解析】

(1)根據(jù)已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，再討論當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)．

（1）解：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

又∵離心率為，∴，∴，

∴，解得，，

∴橢圓方程為．

（2）證明：設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)，，則，，

∴，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點(diǎn)，

∴直線的方程為，，

令得，∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)．