Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F₁，F₂在x軸上，離心率為.過F₁的直線交橢圓C于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8.過定點M(0，3)的直線l₁與橢圓C交于G，H兩點(點G在點M，H之間)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線l₁的斜率k>0，在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ＝1(2)

(1)設橢圓的方程為＝1(a>b>0)，由離心率e＝＝，△ABF₂的周長為|AF₁|＋|AF₂|＋|BF₁|＋|BF₂|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，則b²＝a²－c²＝3.
所以橢圓C的方程為＝1.
(2)由題意可知，直線l₁的方程為y＝kx＋3(k>0)．
由得(3＋4k²)x²＋24kx＋24＝0，①
Δ＝(24k)²－4×24×(3＋4k²)>0，解得k>.
設橢圓的弦GH的中點為N(x₀，y₀)，則“在x軸上是否存在點P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形”等價于“在x軸上是否存在點P(m，0)，使得PN⊥l₁”．
設G(x₁，y₁)，H(x₂，y₂)，由韋達定理，得x₁＋x₂＝－，
則x₀＝＝－，所以y₀＝kx₀＋3＝，
即N，k_PN＝－.
從而－·k＝－1，
解得m＝－.
又因為m′(k)＝>0，
所以函數m＝－在定義域上單調遞增，且m_min＝m＝－，即m∈.
故存在滿足條件的點P(m，0)，m的取值范圍為