Question

已知橢圓的中心在坐標原點O，左頂點，離心率，為右焦點，過焦點的直線交橢圓于、兩點（不同于點）．
(1)求橢圓的方程；
(2)當的面積時，求直線PQ的方程；
(3)求的范圍．

Answer 1

（1）；（2）或；（3）（2,6）

試題分析：（1）設出橢圓的標準方程根據題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（2）設出直線PQ的方程，與橢圓方程聯立，設出P，Q的坐標，進而根據韋達定理表示出和，則利用弦長公式可表示出|PQ|，進而可表示出的面積方程可得．
（3）利用向量的坐標運算，建立函數關系式，利用橢圓的范圍找到定義域，利用二次函數即可求范圍.
試題解析：（1）設橢圓方程為 (a>b>0) ，由已知
∴                            2分
∴ 橢圓方程為．                         4分
（2）解法一: 橢圓右焦點． 設直線方程為（∈R）．  5分
由   得．①              6分
顯然，方程①的．設，則有．                            8分
由的面積==
解得：．
∴直線PQ 方程為，即或．       10分
解法二： 
．                        6分
點A到直線PQ的距離                   8分
由的面積= 解得．
∴直線PQ 方程為，即或．       10分
解法三： 橢圓右焦點．當直線的斜率不存在時，，不合題意．   5分
當直線的斜率存在時，設直線方程為，           
由 得．  ①        6分
顯然，方程①的．
設，則．         7分

=．                    8分
點A到直線PQ的距離                   9分
由的面積=   解得．
∴直線的方程為，即或．       10分
（3）設P的坐標（則 ∴
故
                    12分
∵∴的范圍為（2,6）                 14分
（注：以上解答題其他解法相應給分）