Question

（理）函數y=f（x）圖象與h（x）=-x²+6x-8圖象關于點（1，0）對稱．
①求f（x）的表達式；
②設g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|（a∈R），求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：①設（x，y）是y=f（x）上任意一點，q求出其關于（1，0）的對稱點，將對稱點的坐標代入h（x）=-x²+6x-8的解析式即得到f（x）的解析式．
②通過對x的討論將g（x）的解析式中的絕對值去掉，畫出相應的圖象，通過對a的分類討論求出g（x）的最小值．

解答：解：①設（x，y）是y=f（x）上任意一點，則其關于（1，0）的對稱點為（2-x，-y），
因為函數y=f（x）圖象與h（x）=-x²+6x-8圖象關于點（1，0）對稱，
所以點（2-x，-y）應該在h（x）=-x²+6x-8的圖象上，
所以-y=-（2-x）²+6（2-x）-8，
整理得y=x ²+2x，
所以f（x）=x²+2x，
②g（x）=f（x）-2x+|x+1-a|
=x²+|x+1-a|
=

x2+x+1-a，(x≥a-1) x2-x+a-1，(x＜a-1)

結合圖象，
當a-1≤-

1

2

時即a≤

1

2

時，
當x=-

1

2

時，函數g（x）有最小值

3

4

-a
當a-1≥

1

2

時即a≥

3

2

時，
當x=

1

2

時，函數g（x）有最小值為a-

5

4

；
當

1

2

＜a＜

3

2

時，當x=a-1時函數g（x）有最小值（a-1）²
總之，g（x）的最小值為

3 4 -a(a≤ 1 2 ) (a-1)2( 1 2 ＜a＜ 3 2 ) a- 5 4 (a≥ 3 2 )

點評：本題考查根據函數的性質求函數的解析式、求二次函數的最值應該先求出二次函數的對稱軸、考查分類討論的數學思想方法，是一道較難的題目．