Question

【題目】已知點，圓，點是圓上一動點， 的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，過點且斜率不為0的直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為，證明直線過定點，并求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】【試題分析】（1）由于，所以的軌跡為橢圓，利用橢圓的概念可求得橢圓方程.（2）當直線的斜率存在時，設出直線方程和點的坐標，聯立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理，求得直線的方程，求得其縱截距為，即過.驗證當斜率不存在是也過.求出三角形面積的表達式并利用基本不等式求得最大值.

【試題解析】

解：（1）由已知得： ，所以

又,所以點的軌跡是以為焦點，長軸長等于4的橢圓，

所以點軌跡方程是.

（2）當存在時，設直線， ，則，

聯立直線與橢圓得，

得，

∴，

∴，所以直線，

所以令，得，

，

所以直線過定點，（當不存在時仍適合）

所以的面積 ，當且僅當時，等號成立.

所以面積的最大值是.