Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的右焦點，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點），點在橢圓上，且，直線與軸，軸分別交于兩點.

（ⅰ）設直線斜率分別為，求的值；

（2）求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) (2) （ⅰ） （ⅱ）

【解析】

（1）由題意和橢圓的幾何性質，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）（ⅰ）設，，則，利用斜率公式，即可求解.

（ⅱ）直線的斜率，進而得到直線的斜率，得出直線的方程為，進而得出的坐標，求得的面積，再利用基本不等式，即可求解面積的最值.

（1），且過，，

解得，，

∴橢圓方程為

（2）（ⅰ）設，，則，

則

（ⅱ）直線的斜率，又，故直線的斜率，

由題意知，，所以，

所以直線的方程為

令，得，即，令，得，即，

可得的面積

因為，當且僅當時等號成立，

此時取得最大值，所以的面積為最大.