Question

根據如圖所示的程序框圖,將輸出的x,y值依次分別記為x1,x2,…,xn,…,x2008;y1,y2,…,yn,…,y2008.

(1)求數列{xn}的通項公式.

(2)寫出y1,y2,y3,y4,由此猜想出數列{yn}的一個通項公式yn,并證明你的結論.

(3)求zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(n∈N*,n≤2008).

 

Answer 1

(1) xn=2n-1(n∈N*,n≤2008)

(2) yn=3n-1(n∈N*,n≤2008)，證明見解析

(3) zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2008)

【解析】(1)由框圖,知數列{xn}中,x1=1,xn+1=xn+2,

∴xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2008).

(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.

由此,猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2008).

證明:由框圖,知數列{yn}中,yn+1=3yn+2,

∴yn+1+1=3(yn+1),∴=3,y1+1=3,

∴數列{yn+1}是以3為首項,3為公比的等比數列,

∴yn+1=3·3n-1=3n,

∴yn=3n-1(n∈N*,n≤2008).

(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn

=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)

=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)]

記Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n　①

則3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)·3n+1　②

①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1

=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1

=2×-3-(2n-1)·3n+1

=3n+1-6-(2n-1)·3n+1

=2(1-n)·3n+1-6,

∴Sn=(n-1)·3n+1+3.

又1+3+…+(2n-1)=n2,

∴zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2008).