Question

【題目】已知函數.

(1)當時,求在區間上的最大值和最小值;

(2)若在區間上,函數的圖像恒在直線下方,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）求出函數的導函數判斷出其大于零得到函數在區間上為增函數，所以為最小值， 為最大值，即可求出；（2）令，則的定義域為.證在區間上恒成立即得證.求出分區間討論函數的增減性得到函數的極值，利用極值求出的范圍即可.

試題解析：（1）當時， ， ；

對于，有，

所以在區間上為增函數，

所以， ．

（2）令，則的定義域為．

在區間上，函數的圖象恒在直線下方的等價于在區間上恒成立．

∵ ，

①若，令，得極值點， ，

當，即時，在上有，

此時在區間上是增函數，并且在該區間上有，不合題意；

當，即時，同理可知， 在區間上是增函數，有，不合題意；

②若，則有，此時在區間上恒有，

從而在區間上是減函數；

要使在此區間上恒成立，只需滿足，即，

由此求得的范圍是．

綜合①②可知，當時，函數的圖象恒在直線下方．