Question

【題目】已知函數f（x）= ，x∈[2，5]．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明你的結論；
（2）求不等式f（m+1）＜f（2m﹣1）的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解： ；

f（x）在[2，5]上單調遞減，證明如下：

設x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2，則：

= ；

∵x1，x2∈[2，5]，且x1＜x2；

∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0；

∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在[2，5]上單調遞減

（2）解：f（x）在[2，5]上單調遞減；

∴由f（m+1）＜f（2m﹣1）得：

；

解得1≤m＜2；

∴原不等式的解集為[1，2）

【解析】（1）分離常數即可得到 ，容易看出f（x）在[2，5]上單調遞減，根據減函數定義，設任意的x1 ， x2∈[2，5]，并且x1＜x2 ， 然后作差，通分，證明f（x1）＞f（x2），從而得出f（x）的單調性；（2）根據f（x）的定義域及單調性便可由原不等式得出關于m的不等式組，解出m的范圍，這樣即得出原不等式的解集．
【考點精析】認真審題，首先需要了解奇偶性與單調性的綜合(奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性)．