Question

【題目】如圖AB是拋物線C：x2=4y過焦點F的弦（點A在第二象限），過點A的直線交拋物線于點E，交y軸于點D（D在F上方），且|AF|=|DF|，過點B作拋物線C的切線l
（1）求證：AE∥l；
（2）當以AE為直徑的圓過點B時，求AB的直線方程．

Answer 1

【答案】
證明：（1）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），則D（0，y1+2）
∴kAE=﹣，
∵x2=4y，∴y′=x，
∴kl=x2 ，
設直線AB的方程為y=kx+1，代入x2=4y，可得x2﹣4kx﹣4=0，
∴x1x2=﹣4，
∴kAE=kl ，
∴AE∥l；
（2）解：直線AE的方程為y﹣y1=﹣（x﹣x1），
與x2=4y聯立，可得x2+x﹣4y1﹣8=0，
∴x1+xE=﹣，∴xE=﹣﹣x1 ， ∴E（﹣﹣x1 ， ++4），
∵以AE為直徑的圓過點B，
∴kABkBE=﹣1，
∴=﹣1，
∴（x2+x1）（3x2﹣x1）=﹣16，
∵x1x2=﹣4，x2+x1=4k，
∴x2=k﹣，x1=3k+，
∴（k﹣）（3k+）=﹣4，
∴k=±，
∴直線AB的方程為y=±x+1．
【解析】（1）證明kAE=kl ， 即可證明：AE∥l；
（2）當以AE為直徑的圓過點B時，kABkBE=﹣1，利用韋達定理，即可求AB的直線方程