Question

設向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)，
（1）若

a

⊥(

b

-2

c

)，求tan（α+β）的值
（2）若tanαtanβ=16，證明：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）求出

b

-2

c

，通過

a

⊥(

b

-2

c

)，數量積為0，求tan（α+β）的值
（2）通過tanαtanβ=16，化為弦函數，利用兩個向量的坐標運算，然后證明

a

∥

b

．

解答：解：（1）向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)，
因為

a

⊥(

b

-2

c

)，所以

b

-2

c

=(sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ)，
4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
可得4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0
所以tan（α+β）=2．
（2）∵tanαtanβ=16，

sinαsinβ

cosαcosβ

=16，
即sinαsinβ=16cosαcosβ，
即sinα•sinβ-4cosα•4cosβ
所以

a

∥

b

成立．命題得證

點評：本題考查平面向量的數量積的計算，兩角和的正弦函數的應用，向量共線的坐標運算，考查計算能力．