Question

設向量

a

=(4cosα，sinα)，

b

=(sinβ，4cosβ)，

c

=(cosβ，-4sinβ)
（1）若

a

與

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求|

b

+

c

|的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的線性運算求出

b

-2

c

，再由

a

與

b

-2

c

垂直等價于

a

與

b

-2

c

的數量積等于0可求出α+β的正余弦之間的關系，最后可求正切值．
（2）先根據線性運算求出

b

+

c

，然后根據向量的求模運算得到|

b

+

c

|的關系，最后根據正弦函數的性質可確定答案．
（3）將tanαtanβ=16化成弦的關系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是

a

∥

b

的充要條件，從而得證．

解答：解：（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

a

與

b

-2

c

垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵

b

+

c

=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴|

b

+

c

|=

(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2

=

1+2sinβcosβ+16-32cosβsinβ

=

17-15sin2β

，
∴當sin2β=-1時，|

b

+

c

|取最大值，且最大值為

32

=4

2

．
（3）∵tanαtanβ=16，∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即

a

=（4cosα，sinα）與

b

=（sinβ，4cosβ）共線，
∴

a

∥

b

．

點評：本題主要考查向量的線性運算、求模運算、向量垂直和數量積之間的關系．向量和三角函數的綜合題是高考的熱點，要強化復習．