Question

6．已知函數f（x）=|2x-a|+a，函數g（x）=|2x-1|．
（1）若當g（x）≤5時，恒有f（x）≤6，求實數a的最大值；
（2）若當x∈R時，f（x）+g（x）≥3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據|2x-a|+a≤6，得a-6≤2x-a≤6-a，解出x的范圍，求出a的范圍即可；
（2）f（x）+g（x）≥3等價于|1-a|+a≥3，通過討論a的范圍，確定a的范圍即可．

解答 解：（1）由g（x）≤5⇒|2x-1|≤5，得-2≤x≤3，
又f（x）≤6⇒|2x-a|+a≤6，
得a-6≤2x-a≤6-a，
故a-3≤x≤3，a-3≤-2，則a≤1；
故a的最大值是1；
（2）當x∈R時，
f（x）+g（x）
=|2x-a|+a|+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a，
當x=$\frac{1}{2}$時“=”成立，
故x∈R時，f（x）+g（x）≥3等價于|1-a|+a≥3①，
a≤1時，①等價于1-a+a≥3，無解，
a＞1時，①等價于a-1+a≥3，解得：a≥2，
故a的范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查絕對值的意義，是一道中檔題．