Question

已知A(x₁,f(x₁))，B(x₂,f(x₂))是函數f(x)=2sin(wx+j)(w＞0,＜j＜0)圖象上的任意兩點，且角j的終邊經過點P(l，-)，若|f(x₁)-f(x₂)|=4時，|x₁-x₂|的最小值為.
(1)求函數f(x)的解析式；(2)求函數f(x)的單調遞增區間；(3)當x∈時，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=2sin(3x-)；（2）[+，+]， k∈Z；（3）[，+¥).

解析試題分析：（1）由角j的終邊經過點P(l，-)及＜j＜0可求得j的值，又|f(x₁)-f(x₂)|=4時，|x₁-x₂|的最小值為可最小正周期為，從而可求出w的值，即可求出其表達式；（2）由復合函數的知識可令3x-=u，只需令+2kp≤u≤+2kp，解出x的范圍即是函數的單調遞增區間；（3）不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立要求m的范圍，只需用分離變量的作法，等價于，而x∈，可求出f(x)的范圍，從而可求出的最大值，則m恒大于或等于其最大值.
試題解析：(1)角j的終邊經過點P(1，-)，tanj=-，∵＜j＜0，∴j=-.由|f(x₁)-f(x₂)|=4時，|x₁-x₂|的最小值為，得T=，即=，∴w=3，∴f(x)=2sin(3x-)
(2)令+2kp≤3x-≤+2kp，得+≤x≤+，k∈Z
∴函數f(x)的單調遞增區間為[+，+]，k∈Z.
(3)當x∈時，-≤f(x)≤1，所以2+f(x)＞0，mf(x)+2m≥f(x)等價于.由-≤f(x)≤1，得的最大值為，所以實數m的取值范圍是[，+¥).
考點：三角函數的定義，三角函數的周期公式，正弦函數的單調區間，恒成立問題，分離變量法，轉化思想.