Question

【題目】對于函數（為自然對數的底數，），函數，給出下列結論：

①函數的圖象在處的切線在軸的截距為

②函數是奇函數，且在上單調遞增；

③函數存在唯一的極小值點，其中，且；

④函數存在兩個極小值點，和兩個極大值點，且.

其中所有正確結論的序號是（ ）

A.①②③B.①④C.①③④D.②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

求出，寫出切線點斜式方程，化簡可判斷①；由的定義域，即可判斷②；構造函數，通過判斷的單調性，得到的解，即可判斷③；求出，進而求出的單調區間，極值點，根據對稱性即可判斷④.

對于①，，

函數的圖象在處的切線方程為，

令，即所求的切線在軸上的截距為，

所以①正確；

對于②，，

定義域不關于原點對稱，所以不是奇函數，所以②不正確；

對于③，，當，

當，設，

時，為增函數，

又恒成立，

在上單調遞增，

即在上單調遞增，

，

，所以存在唯一的，

使得，當，

所以時，取得極小值，所以③正確；

對于④，，

顯然不是極值點，取的定義域為，

此時為奇函數，

為偶函數，

，令，

轉化為求與在的交點，

畫出兩函數圖象，如下圖所示，

與在為奇函數，

兩函數圖象有四個交點，與均關于原點對稱，

當時，，

，

所以時，取得極大值，時，取得極小值，

當時，時偶函數，，

，

所以時，取得極大值，時，取得極小值，

此時，所以④正確.

故選：C.