Question

【題目】設是數列1，，，…，的各項和，，.

（1）設，證明：在內有且只有一個零點；

（2）當時，設存在一個與上述數列的首項、項數、末項都相同的等差數列，其各項和為，比較與的大小，并說明理由；

（3）給出由公式推導出公式的一種方法如下：在公式中兩邊求導得：，所以成立，請類比該方法，利用上述數列的末項的二項展開式證明：時（其中表示組合數）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）依題意可得，求出導函數說明其單調性，再由等比數列前項和得，又；

（2）由題意，，設，然后利用導數研究其單調性即可得證；

（3）

由二項展開式得，

兩邊求導：，

再令，代入可證；

解：（1），

，

由于，故，

因此，在單調遞增，

又，

，

所以在內有且只有一個零點.

（2）由題意，.

設.

當時，，，

當時，，

此時

，

所以單調遞增，，，

當時，，

，

所以單調遞減，，.

綜上，時，；

且時，.

（3）數列的末項為，

由二項展開式得，

兩邊求導：，

取，得，

兩邊乘以，得，

即.