Question

設f（x）=x³，等差數列{a_n}中a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，記S_n=f(

3	an+1

)，令b_n=a_nS_n，數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式和S_n；
（Ⅱ）求證：Tn＜

1

3

；
（Ⅲ）是否存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出等差數列的公差為d，代入到a₃=7和a₁+a₂+a₃=12求出a₁和d即可求出數列的通項公式，把通項公式代入到S_n=f(

3	an+1

)中并根據f（x）=x³得到s_n的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1），所以

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），得到b_n的前n項和T_n=

1

3

（1-

1

3n+1

）＜

1

3

得證；
（Ⅲ）由（Ⅱ）分別求出T₁，T_m和T_n，因為T₁，T_m，T_n成等比數列，所以(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

，分別討論m和n都為正整數且1＜m＜n即可得到存在并求出此時的m和n的值即可．

解答：解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，由a₃=a₁+2d=7，a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12．
解得a₁=1，d=3∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³∴S_n=f(

3	an+1

)=a_n+1=3n+1．
（Ⅱ）b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)∴Tn=

1

3

(1-

1

3n+1

)＜

1

3

（Ⅲ）由（2）知，Tn=

n

3n+1

∴T1=

1

4

，Tm=

m

3m+1

，Tn=

n

3n+1

∵T₁，T_m，T_n成等比數列．
∴(

m

3m+1

)2=

1

4

n

3n+1

即

6m+1

m2

=

3n+4

n

當m=1時，7=

3n+4

n

，n=1，不合題意；當m=2時，

13

4

=

3n+4

n

，n=16，符合題意；
當m=3時，

19

9

=

3n+4

n

，n無正整數解；當m=4時，

25

16

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m=5時，

31

25

=

3n+4

n

，n無正整數解；當m=6時，

37

36

=

3n+4

n

，n無正整數解；
當m≥7時，m²-6m-1=（m-3）²-10＞0，則

6m+1

m2

＜1，而

3n+4

n

=3+

4

n

＞3，
所以，此時不存在正整數m，n，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列．
綜上，存在正整數m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T₁，T_m，T_n成等比數列．

點評：考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式解決數學問題，利用數列的遞推式得到數列的通項公式，以及掌握等比數列性質的能力．