Question

(本小題滿分14分)
某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的產值函數為R(x)="3700x" + 45x2 – 10x3(單位：萬元), 成本函數為C (x) =" 460x" + 5000 (單位：萬元). 又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf (x)定義為: Mf (x) =" f" (x+1) – f (x). 求:
(1) 利潤函數P(x) 及邊際利潤函數MP(x);
(2) 年造船量安排多少艘時, 可使公司造船的年利潤最大?
(3) 邊際利潤函數MP(x)的單調遞減區間, 并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

（1）MP (x) =" P" ( x + 1 ) – P (x) =" –" 30x2 + 60x +3275   (xÎN且xÎ[1, 20])
（2）年建造12艘船時, 公司造船的年利潤最大
（3）MP (x)是減函數說明: 隨著產量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少

(1) P(x) =" R" (x) – C (x) =" –" 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000  (xÎN且xÎ[1, 20]);   3分
MP (x) =" P" ( x + 1 ) – P (x) =" –" 30x2 + 60x +3275   (xÎN且xÎ[1, 20]).    2分
(2) P`(x) =" –" 30x2 + 90x + 3240 =" –" 30( x +9 )(x – 12)  (xÎN且xÎ[1, 20])     3分
當1£ x < 12時, P`(x) > 0, P(x)單調遞增,
當 12 <x £ 20時, P`(x) < 0 , P ( x ) 單調遞減.
∴ x =" 12" 時, P(x)取最大值,                                      
即, 年建造12艘船時, 公司造船的年利潤最大.                        4分
(3) 由MP(x ) =" " – 30( x – 1) 2 + 3305   (xÎN且xÎ[1, 20]).
∴當1< x £ 20時，MP (x)單調遞減.                                 1分
MP (x)是減函數說明: 隨著產量的增加，每艘利潤與前一臺比較，利潤在減少.1分