Question

【題目】已知點P在曲線C：上，曲線C在點P處的切線為，過點P且與直線垂直的直線與曲線C的另一交點為Q，O為坐標原點，若OP⊥OQ，則點P的縱坐標為_______．

Answer 1

【答案】1

【解析】

設，,則：，，利用導數求得切線的斜率為，即可求得直線斜率為，表示出直線的方程：，聯立直線與拋物線方程可得，利用韋達定理可得，由OP⊥OQ可得，整理得，解方程，問題得解。

依據題意直作出圖象，如下：

設，,則：，.

因為

所以曲線C在點P處的切線斜率為：，

又過點P且與直線垂直的直線與曲線C的另一交點為Q，所以

且，所以

所以直線的方程為：

聯立直線與拋物線方程可得：，

整理得：.

所以

又因為OP⊥OQ，所以,即：，整理得：.

所以，解得：

所以

所以點P的縱坐標為