Question

如圖，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2

3

，VC=1．
（Ⅰ）證明：AB⊥VC；
（Ⅱ）求三棱錐V-ABC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過證明直線AB⊥平面VDC，然后證明AB⊥VC；
（Ⅱ）求三棱錐V-ABC的體積．

解答：證明：（Ⅰ）取AB的中點為D，連接VD，CD．
∵VA=VB，∴AB⊥VD；同理AB⊥CD．
于是AB⊥平面VDC．又VC?平面VDC，故AB⊥VC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AB⊥平面VDC．
由題設可知VD=CD=1，又VC=1，DB=

3

．CD=VD=

22-( 3 )2

=1，S△VDC=

1

2

×1×

3

2

，
故三棱錐V-ABC的體積等于

1

3

S△VDC•BA=

1

3

×(

1

2

×1×

3

2

)×2

3

=

1

2

．

點評：本題考查直線與平面的垂直的性質定理以及棱錐體積的求法，考查邏輯思維能力與計算能力．