Question

【題目】如圖，在三棱柱中，底面△ABC是等邊三角形，側(cè)面為正方形，且平面ABC， 為線段上的一點(diǎn)．

(Ⅰ) 若∥平面A1CD，確定D的位置，并說明理由；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)利用線面平行的判斷定理由線線平行證明線面平行即可

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角的余弦值即可.

試題解析：

（Ⅰ）D為的中點(diǎn)，理由如下：

連接AC1，交A1C于點(diǎn)E，可知E為AC1的中點(diǎn)，連接DE，

因?yàn)?/span>∥平面A1CD，

平面ABC1∩平面A1CD＝DE，

所以∥DE，

故為的中點(diǎn)．

（Ⅱ）不妨設(shè)＝2，分別取BC，B1C1的中點(diǎn)O，O1，連接AO，OO1，可知OB，OO1， OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．

知，

則， ，

設(shè)面A1CD的法向量，

由得

令，得A1CD的一個(gè)法向量為，

又平面BCC1的一個(gè)法向量，

設(shè)二面角的平面角為α，

則．

即該二面角的余弦值為．