Question

【題目】已知f（x）是定義在區間（0，+∞）上的增函數，f（2）=1，且對于任意a，b∈（0，+∞）， 恒成立． （I）求f（8）；
（II）求不等式 的解集．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令a=xy，b=y，則 恒成立任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．由題意得，f（2）=1，任意正數x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，
令x1=x2=2，得f（4）=2f（2）=2，
令x1=4，x2=2，得f（8）=f（4）+f（2）=3；
（Ⅱ）不等式 f（2x（x+2））＜f（2）+f（x2+4）f（2x2+4x）＜f（2x2+8）
解得0＜x＜2．故不等式解集為：（0，2）
【解析】（Ⅰ）利用條件、恒等式和賦值法即可求f（8）的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）和恒等式將不等式等價轉化為f（2x2+4x）＜f（2x2+8），結合函數的定義域、單調性列出不等式組，求解即可．