Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

(Ⅰ) 當(dāng)a＝－1時(shí)，求證： ；

(Ⅱ) 對(duì)任意，存在，使成立，求a的取值范圍.

（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e＝2.71828…）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(1)寫出 時(shí)的函數(shù)解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)求得原函數(shù)的單調(diào)性，最后求得最大值： 即可證得題中的結(jié)論；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為 ，利用導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)結(jié)論討論最值得到關(guān)于實(shí)數(shù) 的不等式即可求得最終結(jié)果.

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)a＝－1時(shí)， （x＞0），

則，令，得．

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減．

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也為最大值，所以，

所以， ，得證．

（II）原題即對(duì)任意，存在，使成立，

只需．

設(shè)，則，

令，則對(duì)于恒成立，

所以為上的增函數(shù)，

于是，即對(duì)于恒成立，

所以為上的增函數(shù)，則．

令，則，

當(dāng)a≥0時(shí)， 為的減函數(shù)，且其值域?yàn)镽，符合題意．

當(dāng)a＜0時(shí)， ，由得，

由得，則p(x)在上為增函數(shù)；由得，則p(x)在上為減函數(shù)，所以，

從而由，解得．

綜上所述，a的取值范圍是.