Question

設二次函數f(x)=ax²+bx+c(a、b、cÎR)，滿足條件：（1）對于任意實數xÎR，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)³x；（2）xÎ(0，2)時，有f(x)£；（3）f(x)在R上的最小值為0．求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要kÎ[1，m]就有f(x+t)£x．

 

Answer 1

答案：
解析：

∵ f(x-4)=f(2-x)  ∴ 函數圖像的對稱軸為x=-1．∴ b=2a ∵ 由（3）得x=-1時，f(-1)=0，∴a-b+c=0 由（1）得f(1)³1，由（2）得f(1)£1，∴ 1£f(1)£1  ∴f(1)=1，即a+b+c=0 ∴ b=，a=c=  ∴f(x)= 假設存在tÎR，只要xÎ[1，m]就有f(x+t)£x，即(x+t+1)2£x x2-2(1-t)x+(t+1)2£0，在xÎ[1，m]上恒成立，g(x)=x2-2(1-t)x+(t+1)2 ；即(t+1)2+(t+1)+£1，解得-4£t£0； 即(t+m)2+(t+m)+£m， 化簡有解得1-t-£m£1-t+，于是有m£1-(-4)+=9 當t=-4時，對任意的xÎ[1，9]，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)£0． 所以所求m的最大值為9．