Question

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，對任意實數(shù)x，f（x）≤6x+2恒成立；正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫出一個區(qū)間（a，b），使得當a_n∈（a，b）時，數(shù)列{a_n}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說明理由；
（3）若已知，求證：數(shù)列{lg(

1

2

-an)+lg2}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）由恒成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式組，解之可得解析式，進而可得值域；
（2）比如區(qū)間（0，

1

2

），用作差法可證；
（3）由（2）可得（

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2，bn=

1

2

-an，則有bn+1=2

b

2 n

，代入后由對數(shù)的運算法則可得答案．

解答：解：（1）f（x）≤6x+2恒成立，等價于（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，
從而可得

k-4＜0 △=(k-6)2+8(k-4)≤0

，化簡得

k＜4 (k-2)2≤0

，解得k=2，
所以f（x）=-2x²+2x，由二次函數(shù)的最值可知當x=

1

2

時，函數(shù)取最大值

1

2

，
故值域為（-∞，

1

2

]
（2）解：當an∈(0，

1

2

)時，數(shù)列{a_n}在這個區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
設(shè)an∈(0，

1

2

)，n≥1，則an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，
所以對一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)；…（6分）
∴an+1-an=f(an)-an=-2

a

2 n

+2an-an=-2(an-

1

4

)2+

1

8

，an∈(0，

1

2

)⇒-

1

4

＜an-

1

4

＜

1

4

⇒(an-

1

4

)2＜

1

16

⇒-2(an-

1

4

)2＞-

1

8

⇒-2(an-

1

4

)2+

1

8

＞0，
從而得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n，所以數(shù)列{a_n}在區(qū)間(0，

1

2

)上是遞增數(shù)列．…（8分）
（3）證明：由（2）知an∈(0，

1

2

)，從而

1

2

-an∈(0，

1

2

)；

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；  …（10分）   
 令bn=

1

2

-an，則有bn+1=2

b

2 n

且bn∈(0，

1

2

)；
從而有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n+lg2，可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以數(shù)列{lg(

1

2

-an)+lg2}是以lg(

1

2

-a1)+lg2=lg(

1

2

-

1

3

)+lg2=lg

1

3

為首項，公比為2的等比數(shù)列，…（14分）

點評：本題考查等比數(shù)列關(guān)系的確定，涉及函數(shù)的值域和恒成立問題，屬中檔題．