Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，．
（1）求拋物線的方程；
（2） 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時(shí)直線的方程．

Answer 1

（1）;（2）

解析試題分析：（1）由于點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，假設(shè)點(diǎn)，再通過，可得一個(gè)關(guān)于與的關(guān)系式，在結(jié)合拋物線方程即可求出．從而求得拋物線的方程．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/4/tx5g1.png" style="vertical-align:middle;" />的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)．所以假設(shè)直線PA，聯(lián)立拋物線方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，類比地求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．結(jié)合韋達(dá)定理，可以得到直線AB的斜率為定值-1．通過假設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離，即可表示三角形的面積．再通過求最值即能到結(jié)論．
（1）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/e/e5dsm3.png" style="vertical-align:middle;" />，由拋物線的定義得，又，所以，
因此，解得，從而拋物線的方程為．
（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/79/4/tx5g1.png" style="vertical-align:middle;" />的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)
設(shè)直線的斜率為，則，由題意，
把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，
由韋達(dá)定理得，即，同理，
所以，
設(shè)，把代入拋物線方程得，
由題意，且，從而
又，所以，點(diǎn)到的距離，
因此，設(shè)，
則，
由知，所以在上為增函數(shù)，因此，
即面積的最大值為．
的面積取最大值時(shí)，所以直線的方程為．
考點(diǎn)：1．拋物線的性質(zhì)．2．函數(shù)的最值．3．等價(jià)變換．4．圓錐曲線與函數(shù)知識(shí)的交匯．