Question

已知函數，函數.

（1）當時，求函數f(x)的最小值；

（2）設函數h(x)=(1－x)f(x)+16，試根據m的取值分析函數h(x)的圖象與函數g(x)的圖象交點的個數.

Answer 1

(1) x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.

（2）當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.

解析:

(1) 方法一：  ∵ x>1 ,  ，

    當且僅當x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0；

   方法二：∵ x>1，

當且僅當即x=4時，取等號，故函數f(x)的最小值為0.

方法三：求導（略）  ……………………………………4分

（2）由于h(x)=(1－x)f(x)+16=

設 F(x)=g(x)－h(x)=   (且)，則

，……………………………6分

令得x=3或x=1（舍）又∵， ，，F（3）＝6ln3－15+m

根據導數的符號及函數的單調情況、取極值的情況作出的草圖如下：………………11分

由此可得：

當或時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有1個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x)的圖象恰有2個交點；

當時，h(x)的圖象與g(x(的圖象恰有3個交點.