Question

（1）求證：函數f（x）=x+

a

x

是奇函數；
（2）已知函數g（x）=x+

1

x

在區間（0，1）上是單調減函數，在區間（1，+∞）上是單調增函數；函數g（x）=x+

4

x

在區間（0，2）上是單調減函數，在區間（2，+∞）上是單調增函數；猜想出函數g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調區間；
（3）指出函數h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在什么時候取最大值，最大值是多少．

Answer 1

分析：本題考查的是函數的性質問題．在解答時：
（1）先求函數的定義域，結合函數奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（2）充分觀察已知兩函數的形式特點，明確a的位置與單調區間發生變化的聯系，即可進行猜測，進而獲得答案；
（3）利用（2）的猜測以及（1）中的結論，即可獲得函數h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）時單調性的變化情況，進而即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）函數的定義域為：{x|x≠0}，
任意x∈{x|x≠0}，則f（-x）=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

) =-f(x)，
∴函數f（x）=x+

a

x

是奇函數；
（2）∵函數g（x）=x+

1

x

在區間（0，1）上是單調減函數，在區間（1，+∞）上是單調增函數，即：在區間（0，

1

）上是單調減函數，在區間（

1

，+∞）上是單調增函數；
函數g（x）=x+

4

x

在區間（0，2）上是單調減函數，在區間（2，+∞）上是單調增函數，即：在區間（0，

4

）上是單調減函數，在區間（

4

，+∞）上是單調增函數；
∴猜測：函數g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的單調減區間為（0，b），單調增區間為（b，+∞）．
（3）由（2）可知，函數h（x）=x+

8

x

，x∈（0，+∞）的單調減區間為（0，2

2

），單調增區間為（2

2

，+∞）．
 又由（1）可知，函數h（x）為奇函數．所以函數h（x）在（-2

2

，0）上為減函數，在（-∞，-2

2

）上為增函數．
∴函數h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在x=-2

2

時取得最大值，最大值為：h_max（x）=-4

2

．

點評：本題考查的是函數的性質問題．在解答的過程當中充分體現了函數奇偶性的知識、歸納猜測的思想以及利用單調性求最值的知識．值得同學們體會和反思．