Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，周期為5，函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，在[1，4]上是二次函數，且在x=2時函數取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函數y=f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，T=5，所以f（4）=f（-1），而函數y=f（x）在區間[-1，1]上是奇函數，所以f（-1）=-f（1），由此能求出f（1）+f（4）的值．
（2）當x∈[1，4]時，令f（x）=a（x-2）²-5，由f（1）+f（4）=0得a=2，由此能求出f（x）．
（3）函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數，y=f（x）在[0，1]上是一次函數，令y=kx．由f（1）=-3，可知k=-3，由此分類討論能夠求出f（x），并求出其最值．

解答：解：（1）函數y=f（x）是定義在R上的周期函數，T=5，所以f（4）=f（-1），…（2分）
而函數y=f（x）在區間[-1，1]上是奇函數，所以f（-1）=-f（1），…（3分）
所以f（1）+f（4）=0；…（4分
（2）當x∈[1，4]時，令f（x）=a（x-2）²-5，…（5分）
由f（1）+f（4）=0得a=2，…（7分）
所以f（x）=2x²-8x+3（1≤x≤4），…（8分）
（3）函數y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數，
令y=kx，（k≠0，-1≤x≤1），…（9分）
由（2）得：f（1）=-3，可知k=-3，…（10分）
由0≤x≤1時，y=-3x，可推知y=-3x，-1≤x≤1，…（11分）
當4≤x≤6時，-1≤x-5≤1，所以f（x）=f（x-5）=-3x+15；…（13分）
當6＜x≤9時，1＜x-5≤4，所以f（x）=f（x-5）=2（x-7）²-5．…（15分）
所以f(x)=

-3x+15，x∈[4，6] 2(x-7)2-5，x∈[6，9]

（13分）
得f（x）_max=3，f（x）_min=-5（15分）

點評：本題考查函數值和函數解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．