Question

【題目】已知拋物線的焦點為，拋物線上存在一點 到焦點的距離等于．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點在拋物線上且異于原點，點為直線上的點，且．求直線與拋物線的交點個數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線與拋物線只有一個交點，理由見解析。

【解析】

（1）由題意，的奧拋物線的準線方程為，列出方程，求得的值，即可得到答案.

（2）設點為，點為，焦點為，由題意可得，列出方程，得到直線的方程，再與拋物線方程聯立，即可求解.

（1）拋物線的準線方程為，

所以點 到焦點的距離為．

解得．

所以拋物線的方程為．

（2）直線與拋物線只有一個交點，理由如下：

設點為，點為，焦點為．

則，．

由題意可得，

故．

從而．

故直線的斜率 ．

故直線的方程為，即．①

又拋物線的方程，②

聯立消去得 ，故，且．

故直線與拋物線只有一個交點．