Question

【題目】對于函數，若存在實數 ,使 成立，則稱為的不動點.

（1）當時，求的不動點；

（2）若對于任意的實數 函數 恒有兩個相異的不動點，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上 兩點的橫坐標是函數 的不動點，且直線 是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)設為不動點，則有,變形為,解方程即可；(2)將轉化為，由已知，此方程有相異二實根，則有恒成立，可得，由可得結果；(3)由垂直平分線的定義解答，由兩點的橫坐標是函數的不動點,則有 ,再由直線是線段的垂直平分線，得到，再由中點在直線上可得利用基本不等式求解即可.

，

（1）當時，，

設為其不動點，即,

則,

即的不動點是.

(2)由得，

由已知，此方程有相異二實根，則有恒成立

即，即對任意恒成立，

，.

(3)設，

直線是線段的垂直平分線，，

記的中點，由（2）知，

在上，，

化簡得（當時，等號成立）

即，即.