Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，在軸上，是否存在點(diǎn)，使得無論非零實(shí)數(shù)怎樣變化，總有為直角？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，使得無論非零實(shí)數(shù)怎么變化，總有為直角，點(diǎn)坐標(biāo)為或.

【解析】試題分析：（1）依題意，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上及，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)，則，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得，，根據(jù)得所在直線方程，即可分別得到與的坐標(biāo)，結(jié)合為直角，列出等式，即可求解.

試題解析：（1）依題意，.

∵點(diǎn)在上，

∴，

又∵

∴，

∴橢圓方程為

（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)，則，聯(lián)立，解得，

∵

∴所在直線方程為，

∴，

同理可得，，.

∴或

∴存在點(diǎn)，使得無論非零實(shí)數(shù)怎么變化，總有為直角，點(diǎn)坐標(biāo)為或．