Question

13、已知數列{a_n}的通項公式為a_n=（2n-1）•2ⁿ，我們用錯位相減法求其前n項和S_n：由S_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）•2ⁿ得2S_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…（2n-1）•2ⁿ⁺¹，兩式項減得：-S_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，求得S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．類比推廣以上方法，若數列{b_n}的通項公式為b_n=n²•2ⁿ，
則其前n項和T_n=

（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6

．

Answer 1

分析：先如題設中錯位相減法，正好求得T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹進而得到答案．

解答：解：T_n=1×2+4×2²+9×2³+…n²•2ⁿ
∴2T_n=1×2²+4×2³+9×2⁴+…n²•2ⁿ⁺¹
∴-T_n=1×2+3×2²+5×2³+…（2n-1）2ⁿ-n²•2ⁿ⁺¹
即T_n=-S_n+n²•2ⁿ⁺¹=（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6
故答案為：（n²-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6

點評：本題主要考查數列的求和問題．錯位相減法是解決數列求和問題常用的方法，應熟練掌握．