Question

（2012•天津模擬）已知函數f（x）的定義域為[-1，5]，部分對應值如下表．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示：
下列關于f（x）的命題：
①函數f（x）是周期函數；
②函數f（x）在[0，2]是減函數；
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數y=f（x）-a有4個零點；
⑤函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．
其中正確命題的序號是

②⑤

．

Answer 1

分析：先由導函數的圖象和原函數的關系畫出原函數的大致圖象，再借助與圖象和導函數的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案．

解答：解：由導函數的圖象和原函數的關系得，原函數的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：
由圖得：①為假命題．函數f（x）不能斷定為是周期函數．
②為真命題，因為在[0，2]上導函數為負，故原函數遞減；
③為假命題，當t=5時，也滿足x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2；
④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）-a有2個零點，也可以是3個零點．
⑤為真命題，動直線y=a與y=f（x）圖象交點個數可以為0、1、2、3、4個，故函數y=f（x）-a的零點個數可能為0、1、2、3、4個．
綜上得：真命題只有②⑤．
故答案為：②⑤

點評：本題主要考查導函數和原函數的單調性之間的關系．二者之間的關系是：導函數為正，原函數遞增；導函數為負，原函數遞減．