Question

（2012•天津模擬）設y=f（x）在（-∞，1]上有定義，對于給定的實數K，定義fk(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，給出函數f（x）=2^x+1-4^x，若對于任意x∈（-∞，1]，恒有f_k（x）=f（x），則（　　）

A．K的最大值為0

B．K的最小值為0

C．K的最大值為1

D．K的最小值為1

Answer 1

分析：由已知條件可得，k≥f（x）在（-∞，1]恒成立，即k≥f（x）_max，結合指數函數與二次函數的性質可求函數f（x）的最大值，從而可求

解答：解：因為對于任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_k（x）=f（x），
由已知條件可得，k≥f（x）在（-∞，1]恒成立
∴k≥f（x）_max
∵f（x）=2^x+1-4^x，=2•2^x-2^2x，x∈（-∞，1]，令t=2^x，t∈（0，2]
則f（t）=2t-t²=-（t-1）²+1，t∈（0，2]
∴在t∈（0，2]上的最大值為f（1）=1
∴k≥1 即k的最小值為1
故選D

點評：本題以新定義為載體，主要考查了閱讀、轉化的能力，解決本題的關鍵是利用已知定義轉化為函數的恒成立問題，結合二次函數的性質可進行求解．