Question

【題目】已知函數且a≠0）．

（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）若函數f（x）的極小值為，試求a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知．，由此能求出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

（2）當a＜-1時，求出，解得，不成立；②當a=-1時，≤0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）單調遞減．f（x）無極小值；當-1＜a＜0時，極小值f（1）=-a-4，由題意可得，求出；當a＞0時，極小值f（1）=-a-4．由此能求出a的值．

（1）函數f（x）=（2ax2+4x）lnx-ax2-4x（a∈R，且a≠0）．

由題意可知．

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為．

（Ⅱ）①當a＜-1時，x變化時變化情況如下表：

x				1	（1，+∞）
	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時，解得，故不成立．

②當a=-1時，≤0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）單調遞減．

此時f（x）無極小值，故不成立．

③當-1＜a＜0時，x變化時變化情況如下表：

x	（0，1）	1
	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

此時極小值f（1）=-a-4，由題意可得，

解得或．

因為-1＜a＜0，所以．

④當a＞0時，x變化時變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

此時極小值f（1）=-a-4，由題意可得，

解得或，故不成立．

綜上所述．