Question

【題目】已知，，其中實(shí)數(shù).

(1)求的最大值；

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）先求出，根據(jù)和的解集確定的單調(diào)區(qū)間即可得解；

（2）根據(jù)時(shí)成立得出，圍繞討論并證明此時(shí)恒成立即可.

（1）定義域，

，

令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

∴當(dāng)時(shí)，.

（2）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，

∴，

當(dāng)時(shí)，可得，下面圍繞展開(kāi)討論：

由，

可得恒成立，

設(shè)，則，

因此轉(zhuǎn)化為，

即為，

①當(dāng)時(shí)，∵單調(diào)遞減，，

∴為恒成立；

②當(dāng)時(shí)，由于單調(diào)遞增，

因此，

因此只需證明，

即證，

構(gòu)造函數(shù)，，

則，且，

(i)當(dāng)時(shí)，，

則

，

此時(shí)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)根為，那么繼續(xù)分解可得，

∴函數(shù)在上單減，恒成立，

(ii)當(dāng)時(shí)，

，

∴在上單增，恒成立.

綜上所述，.