Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（x+ ）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）= ，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=2sin（x+ ）cosx =（sinx+ cosx）cosx= sin2x+ =sin（2x+ ）+ ，
所以函數f（x）的值域是[ ， ]．
（Ⅱ）△ABC中，∵A為銳角，f（A）=sin（2A+ ）+ = ，
∴sin（2A+ ）=0，∴2A+ =π，∴A= ．
又 b=2，c=3，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣12cos =7，∴a= ．
由 = ，得sinB= ，又b＜a，從而B＜A，∴cosB= = ．
∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB= + =
【解析】（Ⅰ）利用簡單的三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的值域，得出結論．（Ⅱ）△ABC中，由f（A）= ，求得A的值，利用正弦定理、余弦定理求得a、sinB的值，可得cosB的值，從而求得cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB 的值．