Question

【題目】設函數(shù)

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個極值點，記過點的直線的斜率為，問：是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在，使得.

【解析】【試題分析】（1）先對函數(shù)求導，再運用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系分析討論函數(shù)的符號，進而運用分類整合思想對實數(shù)進行分三類進行討論并判定其單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；（2）先假設滿足題設條件的參數(shù)存在，再借助題設條件，推得，即，亦即

進而轉(zhuǎn)化為判定函數(shù)在上是單調(diào)遞增的問題，然后借助導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系運用反證法進行分析推證，從而作出判斷：

解：（Ⅰ） 定義域為，

，

令，

①當時， ， ，故在上單調(diào)遞增，

②當時， ， 的兩根都小于零，在上， ，

故在上單調(diào)遞增，

③當時， ， 的兩根為，

當時， ；當時， ；當時， ；

故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

因為.

所以,

又由（1）知， ，于是，

若存在，使得，則，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，所以，這與（）式矛盾，

故不存在，使得.