Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若 ，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若對任意 都有恒成立，求實數 的取值范圍；

（Ⅲ）設函數 ，求證：

．

Answer 1

【答案】（1）在上遞增；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由于，導函數的零點不能直接求出，考慮二次求導，求出的最值，從而判斷出函數的單調性；（2）由題意可知當時，，可通過討論研究導函數的單調性和最值，得到的最小值，得到參數的取值范圍；（3）由題意可得，可考慮證明兩個和為的自變量對應的函數值的積為定值，通過整理并放縮可實現上述設想，最終得證.

試題解析：(1),令,則,

則當時,單調遞減,當時,單調遞增.

所以有,所以

(2)當時,,令,則,則單調遞增,

當即時,,成立;

當時,存在,使,則減,則當時,,不合題意.綜上

(3），

，

,……,．

由此得，

故（）