Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，已知圓C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圓C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為2 ，求直線l的方程
（2）設P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2 ， 它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于直線x=4與圓C1不相交；

∴直線l的斜率存在，設l方程為：y=k（x﹣4）

圓C1的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C1截得的弦長為2

∴d= =1

d= 從而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直線l的方程為：y=0或7x+24y﹣28=0

（2）解：設點P（a，b）滿足條件，

由題意分析可得直線l1、l2的斜率均存在且不為0，

不妨設直線l1的方程為y﹣b=k（x﹣a），k≠0

則直線l2方程為：y﹣b=﹣ （x﹣a）

∵⊙C1和⊙C2的半徑相等，及直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，

∴⊙C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等

即 =

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5

因k的取值有無窮多個，所以 或

解得 或

這樣的點只可能是點P1（ ，﹣ ）或點P2（﹣ ， ）

【解析】（1）因為直線l過點A（4，0），故可以設出直線l的點斜式方程，又由直線被圓C1截得的弦長為2 ，根據半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．（2）與（1）相同，我們可以設出過P點的直線l1與l2的點斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，故我們可以得到一個關于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l1與l2的方程．