Question

【題目】如圖等腰梯形中，且平面 平面，，為線段的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）求證：平面 平面；

（3）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取中點，連接，可證，從而得到要證的線面平行.

（2）由平面平面可得平面，從而得到要證的面面垂直.

（3）可證即為直線與平面所成的角，在直角三角形中可求.

（Ⅰ）證明：取中點，連接，

因為為，所以且，所以四邊形為平行四邊形，

所以，又因為平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）證明：因為平面平面，平面，

，平面平面 ，

所以平面，又因為平面，所以平面平面.

（Ⅲ）由第（Ⅱ）問知，平面，

因平面，平面，

所以，，故為二面角的平面角，

即.

在等腰梯形中，因為，所以，

由第（Ⅰ）問知，，所以與平面所成的角相等.

又因為平面，所以即為直線與平面所成的角，

又，

所以.