Question

【題目】已知雙曲線的兩個焦點為，，并且經過點.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）利用，以及列方程組，解方程組求得，由此求得雙曲線的方程.

（2）當直線斜率不存在時，直線與雙曲線沒有交點.當直線斜率存在時，設出直線的方程，聯立直線的方程和雙曲線的方程，消去得到，根據二次項系數和判別式進行分類討論，由此求得直線的方程.

（1）由已知可設雙曲線的方程為，

則，

解得，

所以雙曲線的方程為.

（2）當直線斜率不存在時，顯然不合題意

所以可設直線方程為，

聯立，得，

①當，即或，方程只有一解，直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時，直線方程為，

②當，即，要使直線與雙曲線有且僅有一個公共點，

則，解得，

此時，直線方程為，

綜上所述，直線的方程為或.