Question

如圖,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,側面AA₁B₁B⊥底面ABC,側棱AA₁與底面ABC成60°的 角,AA₁=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點,E是線段BC₁上一點,且BE=3(1)BC₁.

(1)求證:GE∥側面AA₁B₁B;
(2)求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點B到平面B₁GE的距離.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）證明直線和平面平行的方法一般有兩種，其一是利用線面平行的判定定理，在平面內找一條直線和平面外的直線平行，其二是利用面面平行的性質定理，先證明面面平行，其次說明線和面平行，延長交于點，則是中點，所以三點共線，根據線段成比例，可證明∥，從而可證明GE∥側面AA₁B₁B；（2）以為坐標原點，的方向為軸，建立坐標系，再求半平面的法向量，再求其夾角，進而可得二面角的余弦值，再轉換為正切值；（3）點到面的距離是點到平面垂線段的長度，如果垂足不好確定，可考慮等體積轉換，點到面的距離就是點到面的距離，設為，利用，可求.
試題解析：(1)延長B₁E交BC于點F,∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC, 從而點F為BC的中點，∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點共線.且, 又GE側面AA₁B₁B,∴GE//側面AA₁B₁B；
（2）取中點，則面，以為坐標原點，的方向為軸，建立坐標系，則,,,,
,. ∵G為△ABC的重心,
∴.,∴, 設平面B₁GE的法向量為,則由得可取又底面ABC的一個法向量為， 設平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則，由于為銳角,所以,進而， 故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為；   
（3）由題意點到面的距離就是點到面的距離，設為，易求得
,,又，∴，，
考點：1、直線和平面平行的判定；2、二面角的求法；3、點到面的距離.