Question

（1）設{a_n}是集合{2^s+2^t|0≤s＜t且s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…將數列{a_n}各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：
3
5     6
9     10    12
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…
①寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；
②求a₁₀₀
（2）設{b_n}是集合{2^r+2^s+2^t|0≤r＜s＜t，且r，s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，已知b_k=1160，求k．

Answer 1

分析：（1）①用（t，s）表示2^t+2^s，先利用前幾個數找到其規律，是每一個的橫坐標從0增加到對應的行數，而縱坐標為行數，就可求出第四行、第五行各數；
②解法一：因為100=（1+2+3+4++13）+9，所以可以知道a₁₀₀位于第14行第8列，即可求出a₁₀₀．
解法二：直接把設a₁₀₀=2^s₀+2^t₀，再利用條件確定對應的正整數s₀，t₀即可．
（2）利用上面的結論可以快速找到{b_n}的規律，再結合組合數對其求解即可．

解答：（1）解：用（t，s）表示2^t+2^s，下表的規律為
3（0，1）
5（0，2） 6（1，2）
9（0，3） 10（1，3） 12（2，3）
①第四行17（0，4） 18（1，4） 20（2，4） 24（3，4）
第五行33（0，5） 34（1，5） 36（2，5） 40（3，5） 48（4，5）
②解法一：因為100=（1+2+3+4+…+13）+9，所以a₁₀₀=（8，14）=2⁸+2¹⁴=16640
解法二：設a₁₀₀=2^s₀+2^t₀，只須確定正整數s₀，t₀．
數列{a_n}中小于2^t₀的項構成的子集為{2^t+2^s|0≤s＜t＜t₀}，
其元素個數為

C

2 t0

=

t0(t0-1)

2

，依題意

t0(t0-1)

2

＜100．
滿足等式的最大整數t₀為14，所以取t₀=14．
因為100-C₁₄²=s₀+1，由此解得s₀=8，
∴a₁₀₀=2¹⁴+2⁸=16640．
（2）解：b_k=1160=2¹⁰+2⁷+2³，
令M={c∈B|C＜1160}（其中，B={2^r+2^s+2^t|0≤r＜s＜t}）
因M={c∈B|c＜2¹⁰}∪{c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}∪{c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}．
現在求M的元素個數：{c∈B|c＜2¹⁰}={2^r&+2^s+2^t|0≤r＜s＜t＜10}，
其元素個數為C₁₀³：{c∈B|2¹⁰＜c＜2¹⁰+2⁷}={2¹⁰&+2^s+2^r|0≤r＜s＜7}．
某元素個數為C₇²：{c∈B|2¹⁰+2⁷＜c＜2¹⁰+2⁷+2³}={2¹⁰+2⁷+2^r|0≤r＜3}
某元素個數為C₁₀⁷：k=C₁₀³+C₇²+C₃²+1=145．
另法：規定2^r+2^t+2^s=（r，t，s），b_k=1160=2¹⁰+2⁷+2³=（3，7，10）
則b₁=2⁰+2¹+2²=（0，1，2）C₂²
依次為（0，1，3） （0，2，3） （1，2，3） C₃²
（0，1，4） （0，2，4） （1，2，4） （0，3，4） （1，3，4） （2，3，4） C₄²
（0，1，9） （0，2，9）（6，8，9） （7，8，9）C₉²
（0，1，10） （0，2，10）（0，7，10） （1，7，10） （2，7，10） （3，7，10） C₇²+4
k=（C₂²+C₃²++C₉²）+C₇²+4=145．

點評：本題考查數列的應用是數列這一塊的難題，適合做壓軸題．