Question

【題目】已知函數， .

（1）求證：對，函數與存在相同的增區間；

（2）若對任意的， ，都有成立，求正整數的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)4

【解析】試題分析： 對求導，求出函數的增區間，對求導，討論當時、當時兩種情況的增區間，得證(2)構造 ，將其轉化為關于的一元二次不等式，結合題意化簡得，然后求導解不等式

解析：（1），所以在為增函數，在為減函數，

由 ，

當時， 恒成立，則在上單調遞增，所以命題成立，

當時， 在為減函數，在為增函數，

設得，令得，

在為減函數，在為增函數，且，所以，

同理，所以，所以與存在相同的增區間.

綜上：命題成立.

（2）證明：對任意的， ，都有，

則 ，

則 ，所以 ，

則，由（1）可知，所以有： 恒成立.

設，則，且，

由， ，

所以在上有唯一實數根，且，

當時為減函數，當時為增函數，

所以， ， ，所以，

且是正整數，所以，所以的最大值為4.