Question

（2012•成都一模）已知函數f（x）=x²-2mx+2-m
（1）若不等式f（x）≥-mx+2在R上恒成立，求實數m的取值范圍
（2）設函數f（x）在[0，1]上的最小值為g（m），求g（m）的解析式及g（m）=1時實數m的值．

Answer 1

分析：（1）由題意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，即x²-mx+2-m≥0恒成立，由此能求出實數m的取值范圍．
（2）函數f（x）=x²-2mx+2-m的對稱軸為x=m，由此進行分類討論，能夠求出g（m）的解析式及g（m）=1時實數m的值．

解答：解：（1）由題意知，f（x）≥-mx在R上恒成立，
即x²-mx+2-m≥0恒成立，
∴△=m²+4m-8≤0，
解得-2-2

3

≤m≤-2+2

3

．
∴實數m的取值范圍是[-2-2

3

，-2+2

3

]．
（2）函數f（x）=x²-2mx+2-m的對稱軸為x=m，
①當m＜0時，
函數f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（0）=2-m．
②當0≤m≤1時，
函數f（x）在[0，1]上的最小值g（m）=f（1）=-3m+3，
綜上所述，g（x）=

2-m，m＜0 -m2-m+2，0≤m≤1 -3m+3，m＞1

，
∵g（m）=1，
∴m=

5 -1

2

．

點評：本題考查函數恒成立的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．