Question

【題目】設函數（為自然對數的底數），， .

（1）若是的極值點，且直線分別與函數和的圖象交于，求兩點間的最短距離；

（2）若時，函數的圖象恒在的圖象上方，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1（2）

【解析】試題分析：

(1)結合題意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x，結合函數的性質可得兩點間的最短距離是1；

(2)構造函數，結合題意可得實數的取值范圍是.

試題解析：

(1)因為F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa，

因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1a=0，a=2.

又當a=2時,若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0，

所以F′(x)在(0,+∞)上為增函數,所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的極小值點，

所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2，

因為h′′(x)=exsinx,當x>0時,ex>1，1sinx1，

所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上遞增，

所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.

(2)令，

則，

，

因為當時恒成立，

所以函數在上單調遞增，∴當時恒成立；

故函數在上單調遞增，所以在時恒成立.

當時， ， 在單調遞增，即.

故時恒成立.

當時，因為在單調遞增，所以總存在，使在區間上，導致在區間上單調遞減，而，所以當時， ，這與對恒成立矛盾，所以不符合題意，故符合條件的的取值范圍是.