Question

（2013•延慶縣一模）以下是面點師一個工作環節的數學模型：如圖，在數軸上截取與閉區間[0，4]對應的線段，對折后（坐標4所對應的點與原點重合）再均勻地拉成4個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標1、3變成2，原來的坐標2變成4，等等）．那么原閉區間[0，4]上（除兩個端點外）的點，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到與4重合的點所對應的坐標為f（n），則f（3）=

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

；f（n）=

j

2n-2

（這里j為[1，2ⁿ]中的所有奇數）

．

Answer 1

分析：在第一次操作完成后，原來的坐標1、3變成2，原來的坐標2變成4；這種操作實際上就是不斷地把每條線段平分為兩部分，每一部分的中點在操作之后對應的坐標都是2，末端與4重合，故可以歸納猜想出答案來．

解答：解：第一次操作后，原來的坐標1、3 變成2；原來的坐標2變成4；
第二次操作后，原來的坐標1、3 變成4，而2對應著第一次操作之前的0；
這種操作實際上就是不斷地把每條線段平分為兩部分，每一部分的中點在操作之后對應的坐標都是2，第一次操作之后，與4對應的點的坐標為2，只有1個；
第二次操作之后，與4對應的點應取0與2的中點1，2與4的中點3，共2個；
第三次操作之后，與4對應的點應取0與1的中點

1

2

，1與2的中點

3

2

，2與3的中點

5

2

，3與4的中點

7

2

，共4個，其坐標分別為

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

；
依此類推，第n次操作之后，與4對應的點的坐標應為：

j

2n-2

，（其中j為[1，2ⁿ]中所有的奇數）．
故答案為：

1

2

，

3

2

，

5

2

，

7

2

； 

j

2n-2

（這里j為[1，2ⁿ]中的所有奇數）．

點評：本題主要考查了進行簡單的合情推理，數列的實際應用以及歸納總結、分析推理的數學能力；解題時需要認真審題，仔細解答，以免出錯．