Question

（2013•延慶縣一模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求三棱錐C-PAD的體積V_C-PAD；
（Ⅲ）在側棱PC上是否存在一點M，滿足PC⊥平面MBD，若存在，求PM的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用菱形的性質可得F為AC的中點，再利用三角形的中位線定理可得EF∥PC，利用線面平行的判定定理即可得出；
（II）由已知PA⊥底面ABCD，可得PA為三棱錐P-ACD的高，利用V_C-PAD=V_P-ACD及三棱錐的體積計算公式即可得出；
（III）利用三垂線定理可得BD⊥PC，在平面PBC內，作BM⊥PC，垂足為M，求得PM的長即可知道點M是否在線段PC即可．

解答：（Ⅰ）證明：設AC、BD相交于點F，連接EF，
∵ABCD底面ABCD為菱形，∴F為AC的中點，
又∵E為PA的中點，∴EF∥PC．
又∵EF?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD．
（Ⅱ）解：∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是邊長為2正三角形，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA為三棱錐P-ACD的高，
∴V_C-PAD=VP-ACD=

1

3

S△ACD•PA=

1

3

×

3

4

×22×2=

2 3

3

．
（Ⅲ）解：在側棱PC上存在一點M，滿足PC⊥平面MBD，下面給出證明．
∵PA⊥底面ABCD，
又ABCD底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
∵BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．
在△PBC內，可求PB=PC=2

2

，BC=2，
在平面PBC內，作BM⊥PC，垂足為M，
設PM=x，則有8-x2=4-(2

2

-x)2，解得x=

3 2

2

＜2

2

．
連接MD，∵PC⊥BD，BM⊥PC，BM∩BD=B，BM?平面BDM，BD?平面BDM，
∴PC⊥平面BDM．
所以滿足條件的點M存在，此時PM的長為

3 2

2

．

點評：熟練掌握菱形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式及“等體積變形、三垂線定理是解題的關鍵．